Question

1．已知，如图，在正方形ABCD中，CE垂直于∠CAD的平分线于E，AE交DC于F，求证：CE=$\frac{1}{2}$AF．

Answer 1

分析 延长AD、CE交于点M，先证明△ADF≌△CDM得AF=CM，再证明△AEC≌△AEM得EC=EM即可得到结论．

解答 证明：延长AD、CE交于点M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADC=∠CDM=90°，
∵∠EAM+∠M=90°，∠DCM+∠M=90°，
∴∠EAM=∠DCM，
在△ADF和△CDM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAF=∠DCM}\\{∠ADF=∠CDM}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△CDM，
∴AF=CM，
在△AEC和△AEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAM=∠EAC}\\{AE=AE}\\{∠AEC=∠AEM}\end{array}\right.$，
∴△AEC≌△AEM，
∴EC=EM，
∴CE=$\frac{1}{2}$AF．

点评 本题考查正方形的性质、角平分线的性质等知识，构造全等三角形是解题的关键．