Question

14．△ABO在平面直角坐标系的位置如图1所示，其中，点A（4，2）、B（3，0）、O（0，0）．

（1）将△ABO绕原点O逆时针旋转90°得△A₁B₁O，在图1中画出旋转后的图形，其中点A₁的坐标是（-2，4）；
（2）将△A₁B₁O向x轴正方向平移3个单位得△A₂B₂B，B₂B与OA交于点M，在图2中画出图形，并证明：MB平分∠A₂BA；
（3）求△ABM的面积．

Answer 1

分析 （1）直接利用旋转的性质得出：△A₁B₁O，进而得出答案；
（2）根据题意得出△CAB∽△COA，进而求出∠B₂BA=∠A₂BB₂，进而得出答案；
（3）利用相似三角形的判定方法得出△MAB∽△BAO，进而结合相似三角形的性质求出答案．

解答 （1）解：如图1所示：△A₁B₁O即为所求，点A₁的坐标是：（-2，4）．
故答案为：（-2，4）；

（2）证明：如图2，作AC⊥Ox轴，垂足为C，
则AC=2，OC=4，BC=OC-OB=4-3=1，
故CB：CA=CA：CO，
又从图形变换知，∠A₂BB₂=∠AOB，
则△CAB∽△COA，
故∠BAC=∠AOC，
∵AC∥B₂B，
∴∠B₂BA=∠BAC，
∴∠B₂BA=∠A₂BB₂，即MB平分∠A₂BA；

（3）解：由（2）知，∠MBA=∠AOB，∠OMB=∠ABC，
故∠BMA=∠AOB，
则△MAB∽△BAO，
且相似之比为：1：2，
故S_△MAB：S_△BAO=1：4，
∵△ABO的面积为3，
∴△ABM的面积是：$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了作图-旋转变换以及平移变换和相似三角形的判定与性质，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形是解题关键．