Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2+2x+c经过A（﹣1，0），B两点，且与y轴交于点C（0，3），抛物线与直线y＝﹣x﹣1交于A，E两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）坐标轴上是否存在一点Q，使得△AQE是以AE为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

（3）P点在x轴上且位于点B的左侧，若以P，B，C为顶点的三角形与△ABE相似，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）存在；Q1（4，0），Q2（0，﹣4）；（3）（，0）或（﹣，0）．

【解析】

（1）将A、C的坐标代入y＝ax2+2x+c求出a、c即可得到解析式；

（2）联立方程组求出E点坐标，分Q在x轴和y轴上两种情况讨论，分别根据QA2＝QE2求出坐标即可；

（3）过点E作EH⊥x轴于点H，根据点E的坐标，分别求出AH＝EH＝5，AE＝5，∠BAE＝45°，以及OB＝OC＝3，∠ABC＝45°，AB＝4，BC=3，所以只可能存在△PBC∽△BAE和△PBC∽△EAB两种情况，利用相似三角形对应边成比例即可求得点P的坐标．

解：（1）将A（﹣1，0），C（0，3）代入y＝ax2+2x+c，

得，

解得，，

∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，

故答案为：y＝﹣x2+2x+3．

（2）存在．

联立，

解得，或，

∴E（4，﹣5），

如图1，当点Q在x轴上时，设Q（m，0），

∵AE为底边，

∴QA＝QE，

∴QA2＝QE2，

即（m+1）2＝52+（m﹣4）2，

解得，m＝4，

∴Q1（4，0）；

当点Q在y轴上时，设Q（0，n），

∵AE为底边，

∴QA＝QE，

∴QA2＝QE2，

即n2+12＝42+（n+5）2，

解得，n＝﹣4，

∴Q2（0，﹣4），

综上所述，Q1（4，0），Q2（0，﹣4），

故答案为：存在；Q1（4，0），Q2（0，﹣4）

（3）如图2，过点E作EH⊥x轴于点H，

∵A（﹣1，0），E（4，﹣5），

∴AH＝EH＝5，AE＝＝5，∠BAE＝45°，

又OB＝OC＝3，

∴∠ABC＝45°，AB＝4，BC＝＝3，

设P（t，0），则BP＝3﹣t，

∵∠BAE＝∠ABC＝45°，

∴只可能存在△PBC∽△BAE和△PBC∽△EAB两种情况，

当△PBC∽△BAE时，，

∴＝，

∴t＝，

∴P1（，0）；

当△PBC∽△EAB时，，

∴＝，

∴t＝﹣，

∴P2（﹣，0），

综上所述，点P的坐标为（，0）或（﹣，0），

故答案为：（，0）或（﹣，0）．