Question

10．已知抛物线y=-x²+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且顶点为D（1，4）．
（1）求b和c的值；
（2）如图，连接BC，与抛物线的对称轴相交于点E，点P是线段BC上一动点，作点P作PF∥DF，交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；
①用含m的代数式表示线段PF的长，并求当四边形DEPF为平行四边形时m的值；
②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式，并求出s的最大值．

Answer 1

分析 （1）设出二次函数的顶点式，代入顶点坐标即可求得b、c的值；
（2）①PF的长就是当x=m时，抛物线的值与直线BC所在一次函数的值的差．可先根据B，C的坐标求出BC所在直线的解析式，然后将m分别代入直线BC和抛物线的解析式中，求得出两函数的值的差就是PF的长．
根据直线BC的解析式，可得出E点的坐标，根据抛物线的解析式可求出D点的坐标，然后根据坐标系中两点的距离公式，可求出DE的长，然后让PF=DE，即可求出此时m的值．
②可将三角形BCF分成两部分来求：
一部分是三角形PFC，以PF为底边，以P的横坐标为高即可得出三角形PFC的面积．
一部分是三角形PFB，以PF为底边，以P、B两点的横坐标差的绝对值为高，即可求出三角形PFB的面积．
然后根据三角形BCF的面积=三角形PFC的面积+三角形PFB的面积，可求出关于S、m的函数关系式，配方后即可确定最大值．

解答 解：（1）设y=-x²+bx+c=-（x-h）²+k，
∵顶点为D（1，4），
∴y=-x²+bx+c=-（x-1）²+4=-x²+2x+3，
∴b=2，c=3；

（2）令y=0，则-x²+2x+3=-（x+1）（x-3）=0，
解得，x=-1或x=3，则A（-1，0），B（3，0）．
令x=0，则y=0，则C（0，3）．
综上所述，A（-1，0），B（3，0），C（0，3），抛物线的对称轴是x=1；
①设直线BC的函数关系式为：y=kx+b（k≠0）．
把B（3，0），C（0，3）分别代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得：k=-1，b=3．
所以直线BC的函数关系式为：y=-x+3．
当x=1时，y=-1+3=2，
∴E（1，2）．
当x=m时，y=-m+3，
∴P（m，-m+3）．
在y=-x²+2x+3中，当x=1时，y=4．
∴D（1，4）
当x=m时，y=-m²+2m+3，
∴F（m，-m²+2m+3）
∴线段DE=4-2=2，
线段PF=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m
∵PF∥DE，
∴当PF=ED时，四边形PEDF为平行四边形．
由-m²+3m=2，解得：m₁=2，m₂=1（不合题意，舍去）．
因此，当m=2时，四边形PEDF为平行四边形．

②设直线PF与x轴交于点M，由B（3，0），O（0，0），可得：OB=OM+MB=3．
S=S△BCF=S△BPF+S△CPF=$\frac{1}{2}$FP•OM+$\frac{1}{2}$FP•BM=$\frac{1}{2}$（-m²+3m）×3=-$\frac{3}{2}$m²+$\frac{9}{2}$m=-$\frac{3}{2}$（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$．
∴S的最大值为$\frac{27}{8}$．

点评 本题主要考查了二次函数的综合应用，根据二次函数得出相关点的坐标和对称轴的解析式是解题的基础．