Question

5．如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1，AB=CD=5，在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK．
（1）若∠1=70°，求∠MKN的度数；
（2）当折痕MN与对角线AC重合时，试求△MNK的面积．
（3）△MNK的面积能否小于0.5？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质和折叠的性质求出∠KNM，∠KMN的度数，根据三角形内角和即可求解；
（2）当折痕MN与对角线AC重合时，此时△AKC为等腰三角形，设MK=AK=CK=x，则DK=5-x，在Rt△ADK中，根据勾股定理得：AD²+DK²=AK²，
即1²+（5-x）²=x²，求得x=2.6，所以MK=AK=CK=2.6，根据三角形面积公式即可解答；
（3）不能，过M点作ME⊥DN，垂足为E，通过证明NK＞1，由三角形面积公式可得△MNK的面积不可能小于0.5．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AM∥DN，
∴∠KNM=∠1，
∵∠KMN=∠1，
∴∠KNM=∠KMN，
∵∠1=70°，
∴∠KNM=∠KMN=70°，
∴∠MKN=40°；
（2）如图1，

折痕即为AC，此时△AKC为等腰三角形，
设MK=AK=CK=x，则DK=5-x，
在Rt△ADK中，根据勾股定理得：AD²+DK²=AK²，
即1²+（5-x）²=x²，
解得：x=2.6，
∴MK=AK=CK=2.6，
${S}_{△MNK}={S}_{△ACK}=\frac{1}{2}×1×2.6=1.3$
∴△MNK的面积的为1.3．
（3）不能，如图2，

理由如下：过M点作AE⊥DN，垂足为点E，则ME=AD=1，
由（1）知，∠KNM=∠KMN，
∴MK=NK，
又∵MK≥ME，ME=AD=1，
∴MK≥1，
又∵${S}_{△MNK}=\frac{1}{2}NK•ME≥\frac{1}{2}$，
即△MNK面积的最小值为$\frac{1}{2}$，不可能小于0.5．

点评 本题主要考查了翻折变换的性质、勾股定理，解决本题的关键是利用翻折变换的性质得到相等的角，掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想．