Question

11．如图，△ABC中，∠BAC=90°，点D为BC上一点，且∠C=∠DAC，DE⊥BC交AB于F，交CA的延长线于E．
（1）求证：BD²=DF•DE；
（2）若BD=2，EF=3，求AE．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件得到∠B+∠C=90°，∠BAD+∠C=90°，等量代换得到∠B=∠DAB，得到CD=AD=BD，根据余角的性质得到∠DAF=∠E，根据相似三角形的性质得到$\frac{AD}{DE}=\frac{DF}{AD}$，等量代换即可得到结论；
（2）根据BD²=DF•DE，得到DE=4，根据勾股定理得到BF=$\sqrt{B{D}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{5}$，根据相似三角形的性质得到$\frac{BD}{AE}=\frac{BF}{EF}$，即$\frac{2}{AE}=\frac{\sqrt{5}}{3}$，即可得到结果．

解答 解：（1）∵∠BAC=90°，∠C=∠DAC，
∵∠B+∠C=90°，
∴∠BAD+∠C=90°，
∴∠B=∠DAB，
∴CD=AD=BD，
∵DE⊥BC，
∴∠E+∠C=90°，
∵∠DAB+∠CAD=90°，
∴∠DAF=∠E，
∴△ADF∽△ADE，
∴$\frac{AD}{DE}=\frac{DF}{AD}$，
∴AD²=DE•DF，
∵BD=AD，
∴BD²=DF•DE；

（2）∵BD²=DF•DE，
∴2²=（DE-3）•DE，
∴DE=4，
∴DF=1，
∴BF=$\sqrt{B{D}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵∠B=∠E，∠BFD=∠AFE，
∴△BDF∽△AEF，
∴$\frac{BD}{AE}=\frac{BF}{EF}$，即$\frac{2}{AE}=\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴AE=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．