Question

19．如图，在正方形ADCE中，F为AE中点，DF交CE的延长线于B点，CM∥AN，交DF于M，N．
（1）求证：△CDM∽△AFN；
（2）若$\frac{FM}{DN}$=$\frac{2}{7}$，求$\frac{AM}{MC}$的值．

Answer 1

分析 （1）由四边形ADCE是正方形，得到AE∥CD，根据平行线的性质得到∠AFN=∠CDM，∠ANM=∠CMD，即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到$\frac{AF}{CD}=\frac{FN}{DM}$设FM=2x，DN=7x，于是得到$\frac{AF}{AE}=\frac{2x+MN}{7x+MN}=\frac{1}{2}$，根据全等三角形的性质得到DF=BF=12x，求得DM=10x，BM=14x，然后根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 （1）证明：∵四边形ADCE是正方形，
∴AE∥CD，
∴∠AFN=∠CDM，
∵AN∥CM，
∴∠ANM=∠CMD，
∴△CDM∽△AFN；

（2）解：∵△CDM∽△AFN，
∴$\frac{AF}{CD}=\frac{FN}{DM}$，∵$\frac{FM}{DN}$=$\frac{2}{7}$，
∴设FM=2x，DN=7x，
∵AE=CD，F为AE中点，
∴$\frac{AF}{AE}=\frac{2x+MN}{7x+MN}=\frac{1}{2}$，
∴MN=3x，
在△ADF与△BEF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAF=∠FEB=90°}\\{AF=EF}\\{∠AFD=∠EFB}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△BEF，
∴DF=BF=12x，∴DM=10x，BM=14x，
∵AD∥BC，
∴△ADM∽△BMG，
∴$\frac{AM}{MG}=\frac{DM}{BM}$=$\frac{5}{7}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．