Question

如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连接DE、OE．

（1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由；

（2）试探究线段CD、DE、EO之间的等量关系，并加以证明；

（2）若tanC=，DE=2，求AD的长．

Answer 1

       解：（1）DE与⊙O相切．理由如下：连接OD，BD．

∵AB是直径，

∴∠ADB=∠BDC=90°．

∵E是BC的中点，

∴DE=BE=CE．

∴∠EBD=∠EDB．

∵OD=OB，∴∠OBD=∠ODB．∴∠EDO=∠EBO=90°．

∴DE与⊙O相切．

（2）由题意，可得OE是△ABC的中位线，

∴AC=2OE．

∵∠ABC=∠BDC=90°，∠C=∠C，

∴△ABC∽△BDC．

∴，即BC²=CD•AC．        

∵BC=2EB=2DE，AC=2EO，

∴4DE²=CD•2EO．

即2DE²=CD•EO．

（3）∵tanC==，可设BD=x，CD=2x，

∵在Rt△BCD中，BC=2DE=4，BD²+CD²=BC²．

∴（）²+（2x）²=16．

解得：x=±（负值舍去）． 

∴BD==．

∵∠ABD=∠C，

∴tan∠ABD=tanC．

∴AD===．

答：AD的长是．