Question

如图，点P是⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O于点E、F，弦AB⊥PF，垂足为D，延长BO交⊙O于点C，连接AC，BF．

（1）求证：PB与⊙O相切；

若AC=12，tan∠F=，求⊙O的直径．

 

Answer 1

 （1）证明：连接OA，

∵弦AB⊥PF，AD=BD，

∴PA=PB，

在△APO和△BPO中，

，

∴△APO≌△BPO（SSS），

∴∠PAO=∠PBO．

∵PA为⊙O的切线，

∴∠PAO=90°．

∴∠PBO=90°

∴PB与⊙O相切；

 

∵AD=BD，BO=CO，

∴OD=AC=6，

∵tan∠F=，

∴设；BD=x，则DF=2x，OB=OF=DF﹣OD=6，

在R_t△BOD中，OB²=BD²+OD²，

∴²=x²+6²，

解得：x=8，

∴⊙O的直径是2BO=2×8=16．