Question

8．2014年宁波市举行“足球迷”杯足球比赛，共有奇数个足球队参加，每个队都同其他队比赛一场，记分办法为胜一场得1分、平一场得0.5分，负一场得0分．已知其中有两队共得10分，其他队的平均分为整数，求参加此次比赛的足球队共有几支？

Answer 1

分析 根据比赛场数乘以每场的得分，可得总得分，根据其他队的得分与两队得分的和也是总得分，可得方程，根据队数、得分数都是整数，可得答案．

解答 解：设参加此次比赛的足球队共有x支（x为正奇数），则全部比赛场次为$\frac{1}{2}$x（x-1），
∵每场得一分，
∴共得$\frac{1}{2}$x（x-1）分，
设其他队的平均分为y，（y为正整数），则总得分为10+y（x-2）
∴根据题意得，$\frac{1}{2}$x（x-1）=10+y（x-2），
∴y=$\frac{{x}^{2}-x-20}{2（x-2）}$=$\frac{{（x}^{2}-x-2）-18}{2（x-2）}$=$\frac{（x+1）（x-2）-18}{2（x-2）}$=$\frac{x+1}{2}$-$\frac{9}{x-2}$，
∵x为正奇数，
∴$\frac{x+1}{2}$为正整数，
∵y为正整数，
∴$\frac{9}{x-2}$是正整数，
∴（x-2）必须是9的因数，9的因数有1、3、9，
∴（x-2）可能为1、3、9，
∴x=3、5、11．
∵其中有两队共得10分，
∴$\frac{1}{2}$x（x-1）＞10，
∴x²-x-20＞0，
∴（x+4）（x-5）＞0，
∴x＞5或x＜-4（舍），
∴x=11，
所以参加此次比赛的足球队共有11支．

点评 此题是应用类问题，主要考查了列方程，整数解，解一元二次不等式，因数，倍数，解本题的关键是根据题意列出方程，用x表示y之后处理成$\frac{x+1}{2}$-$\frac{9}{x-2}$是解本题的难点．