Question

13．如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′•OP=r²，则称点P′是点P关于⊙O的“美好点”．如图2，⊙O的半径为2，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=4，若点A′、B′分别是点A，B关于⊙O的美好点，求A′B′的长．

Answer 1

分析 设OA交⊙O于C，连结B′C，如图2，根据新定义计算出OA′，OB′，则点A′为OC的中点，点B和B′重合，再证明△OBC为等边三角形，则B′A′⊥OC，然后在Rt△OA′B′中，利用正弦的定义可求A′B′的长．

解答 解：设OA交⊙O于C，连结B′C，如图2，
∵OA′•OA=2²，
而r=2，OA=4，
∴OA′=1，
∵OB′•OB=2²，
∴OB′=2，即点B和B′重合，
∵∠BOA=60°，OB=OC，
∴△OBC为等边三角形，
而点A′为OC的中点，
∴B′A′⊥OC，
在Rt△OA′B′中，sin∠A′OB′=$\frac{A'B'}{OB'}$，
∴A′B′=2sin60°=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了阅读理解能力．