Question

5．如图，BE与CD相交于点A，CF为∠BCD的平分线，EF为∠BED的平分线，EF与CD交于点M，CF与BE交于点N．
（1）若∠D=70°，∠BED=30°，则∠EMA=85（度）；
（2）若∠B=60°，∠BCD=40°，则∠ENC=80（度）；
（3）∠F与∠B、∠D有怎样的数量关系？证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据EF为∠BED的平分线可得∠DEF=15°，由∠EMA=∠D+∠DEF，∠D=70°，可以求得∠EMA的度数；
（2）根据CF为∠BCD的平分线可得∠BCN=20°，由∠ENC=∠B+∠BCN，∠B=60°，可以求得∠ENC的度数；
（3）∠F=$\frac{1}{2}$（∠B+∠D），由三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，三角形的角平分线的知识可以得到∠B，∠D，∠F三者之间的关系，从而证明结论．

解答 解：（1）∵EF为∠BED的平分线，∠BED=30°，
∴∠DEM=∠FEN=$\frac{1}{2}$∠BED=15°．
又∵∠EMA=∠D+∠DEM，∠D=70°，
∴∠EMA=85°．
故答案为：85°．
（2）∵CF为∠BCD的平分线，∠BCD=40°，
∴∠BCN=∠FCM=$\frac{1}{2}$∠BCD=20°．
又∵∠ENC=∠B+∠BCN，∠B=60°，
∴∠ENC=80°．
故答案为：80°．
（3）∠F=$\frac{1}{2}$（∠B+∠D）．
证明：∵∠EMA=∠D+∠DEF=∠F+∠DCF，
∠ENC=∠B+∠BCF=∠F+∠BEF，
∴∠D+∠DEF+∠B+∠BCF=∠F+∠DCF+∠F+∠BEF．
又∵CF为∠BCD的平分线，EF为∠BED的平分线，
∴∠DEF=∠BEF，∠DCF=∠BCF．
∴∠B+∠D=2∠F．
即：∠F=$\frac{1}{2}$（∠B+∠D）．

点评 本题主要考查三角形角平分线和三角形的外角的知识，关键是明确三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，进行灵活变化，证明出相应的结论．