Question

16．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别延长OA，OC到点E，F，使AE=CF，依次连接B，F，D，E各点．
（1）求证：△BAE≌△BCF；
（2）若∠ABC=40°，则当∠EBA=25°时，四边形BFDE是正方形．

Answer 1

分析 （1）由菱形的性质得出AB=CB，由等腰三角形的性质得出∠BAC=∠BCA，证出∠BAE=∠BCF，由SAS证明△BAE≌△BCF即可；
（2）由菱形的性质得出AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，∠ABO=$\frac{1}{2}$∠ABC=20°，证出OE=OF，得出四边形BFDE是菱形，证明△OBE是等腰直角三角形，得出OB=OE，BD=EF，证出四边形BFDE是矩形，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CB，
∴∠BAC=∠BCA，
∴180°-∠BAC=180°-∠BCA，
即∠BAE=∠BCF，
在△BAE和△BCF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}&{\;}\\{∠BAE=∠BCF}&{\;}\\{AE=CF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△BCF（SAS）；
（2）解：若∠ABC=40°，则当∠EBA=25°时，四边形BFDE是正方形．理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，∠ABO=$\frac{1}{2}$∠ABC=20°，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
又∵AC⊥BD，∴四边形BFDE是菱形，
∵∠EBA=25°，
∴∠OBE=25°+20°=45°，
∴△OBE是等腰直角三角形，
∴OB=OE，
∴BD=EF，
∴四边形BFDE是矩形，
∴四边形BFDE是正方形；
故答案为：25．

点评 本题考查了正方形的判定、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、矩形的判定；熟练掌握全等三角形的判定与性质和菱形的判定与性质是解决问题的关键．