Question

8．如图，AC=BC，∠C=90°，点E在AC上，点F在BC上，且CE=CF．连结AF和BE上，⊙O经过点B、F．
（1）判断AF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC=BC=12，CE=CF=5，求⊙O半径的长．

Answer 1

分析 （1）利用“SAS”证明△ACF≌△BCE，连结OF，如图，根据全等三角形的性质，由△ACF≌△BCE得到∠A=∠B，则∠B+∠AFC=90°，加上∠B=∠OFB，所以∠OFB+∠AFC=90°，则∠AFO=90°，然后根据切线的判定定理即可得到AF是⊙O的切线；
（2）作OM⊥BC于点M，则△OBM∽△EBC，利用相似三角形的对应边相等即可求解．

解答 证明：（1）连结OF，如图，
在△ACF和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠ACF=∠BCE}\\{CF=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△BCE（SAS）；
∵△ACF≌△BCE，
∴∠A=∠B，
而∠A+∠AFC=90°，
∴∠B+∠AFC=90°，
∵OB=OF，
∴∠B=∠OFB，
∴∠OFB+∠AFC=90°，
∴∠AFO=90°，
∴OF⊥AF，
∴AF是⊙O的切线；
（2）作OM⊥BC于点M．
则OM∥AC，BM=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{1}{2}$（BC-CF）=$\frac{1}{2}$（12-5）=$\frac{7}{2}$．
在直角△BCE中，BE=$\sqrt{B{C}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}+{5}^{2}}$=13，
∵OM∥AC，
∴△OBM∽△EBC，
∴$\frac{OB}{BE}$=$\frac{BM}{BC}$，即$\frac{OB}{13}$=$\frac{\frac{7}{2}}{12}$，
解得：OB=$\frac{91}{24}$．
则⊙O半径的长是$\frac{91}{24}$．

点评 本题考查了切线的判定与相似三角形的判定与性质，证明切线的问题常用的思路是转化为证明垂直问题．