Question

12．如图（1）所示，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，如图（2）是由图（1）中阴影部分拼成的一个长方形．
（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：a²-b²、（a+b）（a-b）．
（2）请问以上结果可以验证哪个乘法公式？a²-b²=（a+b）（a-b）．
（3）试利用这个公式计算：（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）（2³²+1）+1．

Answer 1

分析 （1）求出大正方形及小正方形的面积，作差即可得出阴影部分的面积，图（2）所示的长方形的长和宽分别为（a+b）、（a-b），由此可计算出面积；
（2）根据阴影部分的面积相等可得出平方差公式；
（3）利用原式补项（2-1），进而利用平方差公式求出答案．

解答 解：（1）∵大正方形的面积为a²，小正方形的面积为b²，
故图（1）阴影部分的面积值为：a²-b²，图（2）阴影部分的面积值为：（a+b）（a-b）．
故答案为：a²-b²，（a+b）（a-b）；

（2）以上结果可以验证乘法公式：a²-b²=（a+b）（a-b）．
故答案为：a²-b²=（a+b）（a-b）；

（3）原式=（2-1）（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）（2³²+1）+1
=2⁶⁴-1+1
=2⁶⁴．

点评 本题考查了平方差公式的几何背景，注意几次分割后边的变化情况是关键．