Question

2．在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²-4ax+4a+c与x轴交于点A和点B，与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为（1，0），OB=OC．
（1）求点C的坐标．
（2）求抛物线的顶点P到直线BC的距离．

Answer 1

分析 （1）求出抛物线的对称轴，再根据对称性求出点B的坐标，然后求出点C的坐标，再把点A、C的坐标代入抛物线求出a、c即可得解；
（2）如图所示过点P作PD⊥AB，垂足为D．由点A、C的坐标先求得抛物线的解析式，然后再求得点P的坐标，从而可证明∠PBC=90°，然后求得PB的长度即可．

解答 解：（1）抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{-4a}{2a}$=2，
∵点A（1，0），
∴点B的坐标为（3，0）．
∵点C在y轴的负半轴，OB=OC，
∴点C的坐标为（0，-3）．
（2）如图所示：过点P作PD⊥AB，垂足为D．

将点A和点C的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{a+c=0}\\{4a+c=-3}\end{array}\right.$
解得；a=-1．c=1．
∴抛物线的解析式为y=-x²+4x-3．
将x=2代入得：y=1．
∴顶点P的坐标为（2，1）．
∴PD=BD=1．
∴∠DPB=∠DBP=45°．
∵OB=OC，∠COB=90°，
∴∠OBC=∠BCO=45°．
∴∠PBC=90°．
在Rt△PBD中，PB=$\sqrt{P{D}^{2}+B{D}^{2}}=\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
∴点P到BC的距离为$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，证得∠PBC=90°是解题的关键．