Question

6．解方程组：$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{\frac{x}{y}}-\sqrt{\frac{y}{x}}=\frac{3}{2}}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=17}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 将方程$\sqrt{\frac{x}{y}}$-$\sqrt{\frac{y}{x}}$=$\frac{3}{2}$两边同时平方可得$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{xy}$=$\frac{17}{4}$，由x²+y²=17可求得xy=4，运用完全平方公式可得x+y，x-y的值，由此可求出原方程组的解．

解答 解：将方程$\sqrt{\frac{x}{y}}$-$\sqrt{\frac{y}{x}}$=$\frac{3}{2}$两边同时平方可得，
$\frac{x}{y}$-2+$\frac{y}{x}$=$\frac{9}{4}$，
∴$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{xy}$=$\frac{17}{4}$．
∵x²+y²=17，
∴xy=4，
∴（x+y）²=x²+y²+2xy=25，
（x-y）²=x²+y²-2xy=9，
∴x+y=±5，x-y=±3．
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=4}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-4}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=-1}\end{array}\right.$．
∵$\sqrt{\frac{x}{y}}$-$\sqrt{\frac{y}{x}}$=$\frac{3}{2}$＞0，
∴原方程组的解为$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=-1}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查的是解方程组、完全平方公式等知识，将无理方程两边同时平方转化为整式方程，是解决本题的关键，本题是易错题，容易忽视隐含条件$\sqrt{\frac{x}{y}}$-$\sqrt{\frac{y}{x}}$＞0．