Question

1．如图，在△ABC中，∠C=90°，内切圆⊙O与AB相切于点E，BO的延长线交AC于点D，求证：BE•BD=BO•BC．

Answer 1

分析 连结OE，如图，根据切线的性质得OE⊥AB，根据三角形内心的性质得OB平分∠ABC，则∠OEB=90°，∠OBE=∠OBC，由于∠OBE=∠DBC，∠OEB=∠C，则可判断△OBE∽△DBC，然后利用相似的性质得BE：BC=BO：BD，然后化为等积式即可得到结论．

解答 证明：连结OE，如图，
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴OE⊥AB，OB平分∠ABC，
∴∠OEB=90°，∠OBE=∠OBC，
∴∠OBE=∠DBC，∠OEB=∠C，
∴△OBE∽△DBC，
∴BE：BC=BO：BD，
∴BE•BD=BO•BC．

点评 本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆；三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查了相似三角形的判定与性质．