Question

8．已知：抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点E，点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（3，0）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）连接BC，求△BCD的面积；
（3）在对称轴右侧的抛物线上有一点P，过点P作PK⊥直线CD，垂足为K，使∠CPK=∠BDE，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，然后解方程组求出b、c的值即可；
（2）连接BC，设直线BC与对称轴相交于点F，求出直线BC的解析式，根据抛物线解析式求出点D的坐标，再求出DF，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解；
（3）作出图形，根据点B、C、D的坐标求出BC⊥CD，再根据同角的余角相等求出∠BCP=∠CPK，从而得到的∠BCP=∠BDE，过点B作BG⊥BC交CP的延长线于G，过点G作GH⊥x轴于H，利用勾股定理列式求出BC，再求出△BCG和△EDB，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BG，根据平角等于180°求出∠GBH=45°，然后求出BH、GH，写出点G的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式求出直线CG的解析式，最后与抛物线解析式联立求解即可得到点P的坐标．

解答 解：（1）将A（-1，0），B（3，0）代入y=x²+bx+c得，
$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{9+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
所以，抛物线解析式为y=x²-2x-3；

（2）连接BC，设直线BC与对称轴相交于点F，
令x=0，则y=-3，
所以，点C（0，-3），
易求直线BC的解析式为y=x-3，
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴抛物线对称轴为直线x=1，顶点D的坐标为（1，-4），
当x=1时，y=1-3=-2，
∴点F（1，-2），
所以，DF=-2-（-4）=-2+4=2，
∴△BCD的面积=$\frac{1}{2}$×DF×3=$\frac{1}{2}$×2×3=3；

（3）如图，∵B（3，0），C（0，-3），D（1，-4），
∴BC、CD与y轴的夹角都是45°，
∴BC⊥CD，
∴∠BCP+∠PCK=90°，
∵PK⊥直线CD，
∴∠CPK+∠PCK=90°，
∴∠CPK=∠BCP，
∴∠CPK=∠BCP，
∵∠CPK=∠BDE，
∴∠BCP=∠BDE，
过点B作BG⊥BC交CP的延长线于G，过点G作GH⊥x轴于H，
由勾股定理列得，BC=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
易求△BCG∽△EDB，
∴$\frac{BG}{BC}$=$\frac{BE}{DE}$，
即$\frac{BG}{3\sqrt{2}}$=$\frac{3-1}{4}$，
解得BG=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∵∠OBC=45°，
∴∠GBH=180°-45°-90°=45°，
∴BH=GH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{3\sqrt{2}}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴OH=OB+BH=3+$\frac{3}{2}$=$\frac{9}{2}$，
∴点G的坐标为（$\frac{9}{2}$，-$\frac{3}{2}$），
设直线CG的解析式为y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{9}{2}k+b=-\frac{3}{2}}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{3}}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
所以，直线CG的解析式为y=$\frac{1}{3}$x-3，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-2x-3}\\{y=\frac{1}{3}x-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=0}\\{{y}_{1}=-3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{7}{3}}\\{{y}_{2}=-\frac{20}{9}}\end{array}\right.$，
所以，点P的坐标为（$\frac{7}{3}$，-$\frac{22}{9}$）．

点评 本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，联立两函数解析式求交点坐标，难点在于（3）作辅助线构造出相似三角形并求出直线CP上的一个点的坐标．