Question

3．已知，如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，M为BD的中点，AB=AD，BD=$2\sqrt{17}$，CD=2．
（1）取AC中点E，连接ME，求证：ME⊥AC；
（2）在（1）的条件下，过点M作CD的垂线l，垂足为F，并交AC于点G，试说明：△MEG是等腰直角三角形．

Answer 1

分析 （1）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到AM=CM，根据三线合一得到结论；
（2））由∠AME+∠MAE=90°，得到∠EMD=∠MAE=∠MCE，由线段的中点得到MD=$\frac{1}{2}$BD，所以△DMC是等腰三角形，由三线合一得到MF⊥CD，∠DMF=∠CMF，于是∠EMG=∠EMD+∠DMF，∠EGM=∠MCE+∠CMF，推出∠EMG=∠EGM，由等角对等边得到EM=EG，又∠MEG=90°，得到△MEG是等腰直角三角形．

解答 解：（1）∵∠BAD=∠BCD=90°，M是BD的中点，
∴AM=$\frac{1}{2}$BD，CM=$\frac{1}{2}$BD，
∴AM=CM，
∵E是AC的中点，即ME是等腰三角形AMC的底边中线，
∴ME⊥AC，
∵AM=CM，
∴∠MAE=∠MCE，
∵AB=AD，AM是中线，
∴AM⊥BD，
∴∠AMD=90°，
∴∠AME+∠EMD=90°，
∵ME⊥AC，
（2）∵∠AME+∠MAE=90°，
∴∠EMD=∠MAE=∠MCE，
∵CM=$\frac{1}{2}$BD=DM，
∵MF⊥CD，
∴∠DMF=∠CMF，
∵∠EMG=∠EMD+∠DMF，
∠EGM=∠MCE+∠CMF，
∴∠EMG=∠EGM，
∴EM=EG，
又∵∠MEG=90°，
∴△MEG是等腰直角三角形．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线，正确的作出辅助线是解题的关键．