Question

18．正方形ABCD的对角线交于点O，∠EOF=90°且两条边交直线AB于E，交直线BC于F．如图①，当点E、F分别在线段AB、BC上时，请你证明：BE+BF=BC．
（1）当点E、F分别在AB、BC上时，如图②、③，线段BE、BF、BC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对图②的情况加以证明；
（2）若AB²+CA²=24，S△BOF=6，则EF=10$\sqrt{2}$，或2$\sqrt{26}$．

Answer 1

分析 如图①由正方形ABCD的对角线交于点O，根据正方形的性质得到∠BOC=90°，又因为∠EOF=90°，得到∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，证得∠1=∠3，
由正方形的性质得到∠4=∠5=45°，BO=CO，证得△BOE≌△COF，得到对应边相等由等量代换得到结论；
（1）的解题思路与以上相同；
（2）由AB²+CA²=24，解得AB=2$\sqrt{2}$，根据S△BOF=6，求得BF，根据图①和图③分两种情况求解．

解答 证明：如图①，∵正方形ABCD的对角线交于点O，
∴∠BOC=90°，
∵∠EOF=90°，
∴∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∵∠4=∠5=45°，BO=CO，
在△BOE与△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠3}\\{OB=OC}\\{∠4=∠5}\end{array}\right.$，
∴△BOE≌△COF，
∴BE=CF，
∴BE+BF=BF+CF=BC，
即BE+BF=BC；

（1）如图②，∵正方形ABCD的对角线交于点O，
∴∠BOC=90°，
∵∠EOF=90°，
∴∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∵OB=OC，∠OBE=∠OCF=135°，
在△BOE与△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠3}\\{OB=OC}\\{∠OBE=∠OCF}\end{array}\right.$，
∴△BOE≌△COF，
∴BE=CF，
∴BE=BF-BC；

（2）EF=2$\sqrt{26}$，10$\sqrt{2}$，
如图③，连接EF，
∵AB²+CA²=24，
又∵AC²=2AB²，
∴AB=2$\sqrt{2}$，
∵S_△BOF=6，
∴BF=6$\sqrt{2}$，
由（1）证得AE=BF=6$\sqrt{2}$，
∴BE=8$\sqrt{2}$，
在RT△BEF中，
EF=$\sqrt{{BF}^{2}{+BE}^{2}}$=10$\sqrt{2}$，
如图①EF=$\sqrt{{BF}^{2}{+BE}^{2}}$=2$\sqrt{26}$．
故答案为：10$\sqrt{2}$，2$\sqrt{26}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理的应用，注意（2）中不要漏解．