Question

如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB=90°，BC=a，AB=c（c＞

2

a），连结OC，若B关于OC的对称点为B′，连结AB′，则AB′=

 

（用含a，c的代数式表示）．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理,三角形中位线定理

专题：计算题

分析：根据圆周角定理，由∠ACB=90°得到AB为⊙O的直径，再利用圆对称的性质点B′在⊙O上，且OC⊥BB′，根据垂径定理得

BC

=

B′C

，于是利用圆周角定理得到∠BAC=∠CBB′，则可判断Rt△ABC∽△BCD，利用相似比可表示出CD=

a2

c

，所以OD=OC-CD=

c

2

-

a2

c

=

c2-2a2

2c

，然后证明OD为△ABB′的中位线，利用三角形中位线性质计算AB′．

解答：解：∵△ABC内接于⊙O，∠ACB=90°，
∴AB为⊙O的直径，
∵B关于OC的对称点为B′，
∴点B′在⊙O上，OC⊥BB′，
∴

BC

=

B′C

，
∴∠BAC=∠CBB′，
∴Rt△ABC∽△BCD，
∴

BC

CD

=

AB

BC

，即

a

CD

=

c

a

，
∴CD=

a2

c

，
∴OD=OC-CD=

c

2

-

a2

c

=

c2-2a2

2c

，
∵AB为直径，
∴∠AB′B=90°，
∴OD∥AB′，
而OA=OB，
∴OD为△ABB′的中位线，
∴AB′=2OD=

c2-2a2

c

．
故答案为

c2-2a2

c

．

点评：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理和三角形中位线性质．