Question

17．已知：在锐角三角形ABC中，O是外心，H是垂心，O′，O″是O关于AB，AC的对称点，求证：四边形AO′HO″是菱形．

Answer 1

分析 作OM⊥BC交BC于点M，连接OO′，OO″分别交AB，AC于点DN，连接BO，DN，O′O″，AH，其中O′O″与AH交于点E，根据O′，O″是O关于AB，AC的对称点得到AO′=AO，AO″=AO，从而得到AO′=AO″，然后分别证得△AO′E∽△OBM，△AO′E≌△OBM，从而得到AO′=AO″=O′H=O″H，证得四边形AO′HO″是菱形．

解答 证明：如图，作OM⊥BC交BC于点M，连接OO′，OO″分别交AB，AC于点DN，连接BO，DN，O′O″，AH，其中O′O″与AH交于点E，
∵O′，O″是O关于AB，AC的对称点，
∴AO′=AO，AO″=AO，
∴AO′=AO″，
∵H是垂心，
∴AH⊥BC，
∴AH∥OM，
∵DN是△ABC和△OO′O″的中位线，
∴BC∥O′O″，
∴AH⊥BC，
∵BC∥O′O″，AH∥OM，
∴△AO′E∽△OBM，
∵O′是O关于AB的对称点，
∴AO′=OB，
∴△AO′E≌△OBM，
∴AH=OM，
∵AH=2OM（三角形一个顶点到垂心的距离等于外心到对边距离的2倍），
∴O′O″是AH的垂直平分线，
∴AO′=O′H，AO″=O″H，
∴AO′=AO″=O′H=O″H，
∴四边形AO′HO″是菱形．

点评 本题考查了三角形的五心，能够了解三角形的垂心及外心的性质是解答本题的关键，难点是正确的构造辅助线，难度不大．