Question

7．抛物线y=ax²-3abx+2ab²不经过第三象限．
（1）求a、b的取值范围；
（2）若与x轴交于（a-1，0），且顶点在y=-ax上，求a、b的值．

Answer 1

分析 （1）将抛物线解析式转化为两点式方程，根据题意得到：抛物线与x轴的两个交点在y轴的右侧且开口方向向上；
（2）分类讨论：b=0和b≠0两种情况，将抛物线的顶点坐标代入直线y=-ax可以求得a、b的值．

解答 解：（1）由抛物线得y=a（x-b）（x-2b），可见其与x轴必有交点，且在y轴同侧，
∵不经过第三象限，
∴开口必然向上，与x轴必有交点且在同侧，
∴a＞0，ab≥0，
∴a＞0，b≥0；

（2）①若b=0，则a=1，其顶点为（0，0），该顶点在y=-x上，所以成立；
②若b＞0，顶点（$\frac{3b}{2}$，-$\frac{a{b}^{2}}{4}$）在y=-ax上，
∴-$\frac{a{b}^{2}}{4}$=-a•$\frac{3b}{2}$，
解得b=6，
∵由（1）得，抛物线的解析式为y=a（x-b）（x-2b），
∴a-1=b=6或a-1=2b=12，
∴a=7或13．
综上，a=1，b=0或a=7，b=6或a=13，b=6．

点评 本题考查了二次函数图象与系数的关．解答该题需要熟悉二次函数图象的性质，抛物线顶点坐标公式和一次函数图象上点的坐标特征．