Question

5．如图所示，已知点A、B、C、D都在同一个圆上，AD∥BC，CA平分∠BCD，∠ADC=120°，四边形ABCD的周长为20．
（1）求证：BC为圆的直径；
（2）求此圆的半径；
（3）求图中阴部分的面积．

Answer 1

分析 （1）由AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC=120°，得到∠ACD=∠ACB=∠DAC=30°，∠B=60°，于是有AB=AD=DC，且∠BAC=90°，得到BC为直径；
（2）设圆心为O，AB=x，首先证明△AOB为等边三角形，则BC=2AB=2x，然后利用四边形ABCD的周长为20cm，可求出半径；
（3）S_阴影部分=S_扇形OAD-S_△OAD，利用扇形的面积公式：S=$\frac{nπ{r}^{2}}{360°}$和等边三角形的面积分别计算它们的面积即可．

解答 解：（1）∵AC平分∠BCD，
∴∠ACD=∠ACB，
又∵AD∥BC，
∴∠ACD=∠ACB=∠DAC=30°，
∵∠ADC=120°，
∴∠B=60°，
∴∠BAC=90°，
∴BC为直径；

（2）设圆心为O，连OA，OD，AB=x，
∵∠B=60°，OA=OB，
∴△AOB为等边三角形，
∴BO=AO=AB=x，
∴BC=2BO=2x，
又∵四边形ABCD的周长为20cm，
∴x+x+x+2x=20，解得x=4，即⊙O的半径为4cm；

（3）∴S_阴影部分=S_扇形OAD-S_△OAD
=$\frac{60°{πr}^{2}}{360°}$-$\frac{1}{2}$×AD×DO×sin60°
=$\frac{π{•4}^{2}}{6}$-$\frac{1}{2}$×4²×$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{8}{3}π-4\sqrt{3}$（cm²）．

点评 本题主要考查了扇形的面积公式和圆周角定理及其推论以及等边三角形的面积，求得圆的半径是解答此题的关键．