Question

如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过A、B两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C，经测量景点C位于景点A的北偏东30°方向8km处，位于景点B的正北方向，已知AB=5km．
（1）求景点B与景点为C的距离；（结果保留根号）
（2）为方便游客到景点游玩，景区管委会准备由景点C向公路a修建一条距离最短的公路，不考虑其它因素，求出这条公路的长．（结果精确到0.1km．参考数据：

3

=1.73，

5

=2.24）

Answer 1

考点：解直角三角形的应用-方向角问题

专题：

分析：（1）过点A作AD⊥CB，交CB的延长线于点D，先解Rt△ADC，得出CD=4

3

，再解Rt△ABD，得出BD=3，则BC=CD-BD；
（2）过点C作CE⊥AB于点E．在Rt△CBE中，由正弦函数的定义即可求解．

解答：解：（1）如图，过点A作AD⊥CB，交CB的延长线于点D．
在Rt△ADC中，∠ADC=90°，∠ACD=30°，
∴AD=

1

2

AC=

1

2

×8=4，
∴CD=

AC2-AD2

=4

3

．
在Rt△ABD中，BD=

AB2-AD2

=

52-42

=3，
∴BC=CD-BD=4

3

-3，
答：景点B与景点为C的距离为（4

3

-3）km；

（2）过点C作CE⊥AB于点E．sin∠ABD=

AD

AB

=

4

5

．
在Rt△CBE中，sin∠CBE=

CE

CB

，
∵∠ABD=∠CBE，
∴sin∠CBE=

4

5

，
∴CE=CB•sin∠CBE=（4

3

-3）×

4

5

=

16 3 -12

5

≈3.1（km）．
答：这条公路长约为3.1km．

点评：本题主要考查解直角三角形的应用-方向角问题，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．