题目内容
如图，已知△ABC中，AB=AC，D为△ABC所在平面内的一点，过D作DE∥AB，DF∥AC分别交直线AC、直线AB于点E、F．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，通过观察分析线段DE、DF、AB之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，当点D在直线BC上，其它条件不变时，试猜想线段DE、DF、AB之间的数量关系（请直接写出等式，不需证明）；
（3）如图3，当点D是△ABC内一点，过D作DE∥AB，DF∥AC分别交直线AC、直线AB和直线BC于E、F和G．试猜想线段DE、DF、DG与AB之间的数量关系（请直接写出等式，不需证明）．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，通过观察分析线段DE、DF、AB之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，当点D在直线BC上，其它条件不变时，试猜想线段DE、DF、AB之间的数量关系（请直接写出等式，不需证明）；
（3）如图3，当点D是△ABC内一点，过D作DE∥AB，DF∥AC分别交直线AC、直线AB和直线BC于E、F和G．试猜想线段DE、DF、DG与AB之间的数量关系（请直接写出等式，不需证明）．
考点：平行四边形的判定与性质,等腰三角形的性质
专题：
分析：（1）如图1，先根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出四边形AEDF是平行四边形，则DE=AF．再根据平行线及等腰三角形的性质得出∠FDB=∠B，
由等角对等边得到DF=FB，从而证明DE+DF=AF+FB=AB；
（2）当点D在直线BC上时，分三种情况：
①当点D在CB延长线上时，如图2①，先证明四边形AEDF是平行四边形，则DE=AF，再证明∠FDB=∠FBD，由等角对等边得到DF=FB，从而证明AB=AF-BF=DE-DF；
②当点D在线段BC上时，如图1，AB=DE+DF；
③当点D在BC的延长线上时，如图2②，先证明四边形AEDF是平行四边形，则DF=AE，再证明∠CDE=∠DCE，由等角对等边得到CE=DE，再证明从而证明AB=AC=AE-CE=DF-DE；
（3）如图3，先证明四边形AEDF是平行四边形，则DF=AE，再证明∠EGC=∠C，由等角对等边得到DE+DG=CE，从而证明AB=AC=EC+AE=DE+DG+DF．
由等角对等边得到DF=FB，从而证明DE+DF=AF+FB=AB；
（2）当点D在直线BC上时，分三种情况：
①当点D在CB延长线上时，如图2①，先证明四边形AEDF是平行四边形，则DE=AF，再证明∠FDB=∠FBD，由等角对等边得到DF=FB，从而证明AB=AF-BF=DE-DF；
②当点D在线段BC上时，如图1，AB=DE+DF；
③当点D在BC的延长线上时，如图2②，先证明四边形AEDF是平行四边形，则DF=AE，再证明∠CDE=∠DCE，由等角对等边得到CE=DE，再证明从而证明AB=AC=AE-CE=DF-DE；
（3）如图3，先证明四边形AEDF是平行四边形，则DF=AE，再证明∠EGC=∠C，由等角对等边得到DE+DG=CE，从而证明AB=AC=EC+AE=DE+DG+DF．
解答：
解：（1）DE+DF=AB．理由如下：
如图1．∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴DE=AF．
∵DF∥AC，∴∠FDB=∠C，
∵AB=AC，∴∠C=∠B，
∴∠FDB=∠B，
∴DF=FB，
∴DE+DF=AF+FB=AB；
（2）当点D在直线BC上时，分三种情况：
①当点D在CB延长线上时，如图2①，AB=DE-DF；
②当点D在线段BC上时，如图1，AB=DE+DF；
③当点D在BC的延长线上时，如图2②，AB=DF-DE；
（3）如图3，AB=DE+DG+DF．
解：（1）DE+DF=AB．理由如下：如图1．∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴DE=AF．
∵DF∥AC，∴∠FDB=∠C，
∵AB=AC，∴∠C=∠B，
∴∠FDB=∠B，
∴DF=FB，
∴DE+DF=AF+FB=AB；
（2）当点D在直线BC上时，分三种情况：
①当点D在CB延长线上时，如图2①，AB=DE-DF； ②当点D在线段BC上时，如图1，AB=DE+DF；
③当点D在BC的延长线上时，如图2②，AB=DF-DE；
（3）如图3，AB=DE+DG+DF．
点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，综合性较强，难度适中．（2）中分情况讨论是解题的关键．
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