Question

4．已知：C是AB上的一点，以AC为边作等边△ACD，以BC为边向AD所在的一侧作等边△BCE，以AB为边向AD所在的另一侧作等边△ABF，AE、B0相交于G，连结CF．求证：AE=BD=CF．

Answer 1

分析 分别证明△DAB≌△CAF和△ACE≌△DCB，则BD=CF，AE=BD，可证得AE=BD=CF．

解答 证明：∵△ADC、△BCE、△ABF都是等边三角形，
∴AD=AC=DC，AB=AF，CE=BC，∠DAB=∠CAF=60°，∠ACE=∠DCB=120°，
在△DAB和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AC}\\{∠DAB=∠CAF}\\{AB=AF}\end{array}\right.$，
∴△DAB≌△CAF（SAS），
∴BD=CF，
在△ACE和△DCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=DC}\\{∠ACE=∠DCB}\\{CE=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE=BD，
∴AE=BD=CF．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法以及等边三角形的性质是解决问题的关键．