Question

18．如图，AB是半⊙O的直径，点C在半⊙O上，∠B=∠DCA，AD∥BC，连结OD、AC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若$\frac{AC}{BC}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，OD=3$\sqrt{6}$，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）首先连接OC，AB是⊙O的直径，易证得∠1+∠B=90°，又由OA=OC，则可证得∠1=∠2，由∠B=∠DCA，从而求得∠2+∠DCA=90°，即CD是⊙O的切线；
（2）由已知条件和圆周角定理易证△CAB∽△DAC，由AC：BC的值可设AC=$\sqrt{5}$k，则BC=2k，由勾股定理可得AB=3k，继而表示出DC的长，然后由勾股定理建立关于k的方程，解方程即可得到问题答案．

解答 （1）证明：连结OC．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠1+∠B=90°，
又∵OA=OC，
∴∠1=∠2，
∴∠2+∠B=90°，
∵∠DCA=∠B，
∴∠DCA+∠2=90°，
即OC⊥DC，
∴CD是⊙O的切线；
（2）∵AD∥BC，AB是⊙O的直径，
∴∠DAC=∠ACB=90°，
∵∠1+∠B=90°，∠2+∠3=90°，∠1=∠2，
∴∠B=∠3，
∴△CAB∽△DAC，
∴$\frac{AC}{DA}=\frac{BC}{AC}=\frac{AB}{DC}$，
∵$\frac{AC}{BC}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴设AC=$\sqrt{5}$k，BC=2k，则AB=3k，
∴$\frac{3k}{DC}=\frac{2k}{\sqrt{5}k}$，
∴DC=$\frac{3\sqrt{5}k}{2}$，
在△ODC中，OD=3$\sqrt{6}$，OC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{3}{2}$k，
∴（3$\sqrt{6}$）²=（$\frac{3}{2}$k）²+（$\frac{3\sqrt{5}}{2}$k）²，
∴解得：k=2，
∴AB=3k=6．

点评 此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．