题目内容
4．如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC的边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s．（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由；若不变，则求出它的度数；
（2）点P、Q在运动过程中，设运动时间为ts（0＜t＜4），当t为何值时，△PBQ为直角三角形？
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，在P、Q运动的过程中，∠CMQ的大小变化吗？若变化请说明理由；若不变，请求出它的度数．
分析 （1）利用等边三角形的性质可证明△APC≌△BQA，则可求得∠BAQ=∠ACP，再利用三角形外角的性质可证得∠CMQ=60°；
（2）可用t分别表示出BP和BQ，分∠BPQ=90°和∠BPQ=90°两种情况，分别利用直角三角形的性质可得到关于t的方程，则可求得t的值；
（3）同（1）可证得△PBC≌△QCA，再利用三角形外角的性质可求得∠CMQ=120°．
解答 解：
（1）∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠B=∠PAC=60°，
∵点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，
∴AP=BQ，
在△APC和△BQA中
$\left\{\begin{array}{l}{AP=BQ}\\{∠PAC=∠B}\\{AC=AB}\end{array}\right.$
∴△APC≌△BQA（SAS），
∴∠BAQ=∠ACP，
∴∠CMQ=∠CAQ+∠ACP=∠BAQ+∠CAQ=∠BAC=60°，
∴在P、Q运动的过程中，∠CMQ不变，∠CMQ=60°；
（2）∵运动时间为ts，则AP=BQ=t，
∴PB=4-t，
当∠PQB=90°时，
∵∠B=60°，
∴PB=2BQ，
∴4-t=2t，解得t=$\frac{4}{3}$，
当∠BPQ=90°时，
∵∠B=60°，
∴BQ=2PB，
∴t=2（4-t），解得t=$\frac{8}{3}$，
∴当t为$\frac{4}{3}$s或$\frac{8}{3}$s 时，△PBQ为直角三角形；
（3）在等边三角形ABC中，AC=BC，∠ABC=∠BCA=60°，
∴∠PBC=∠QCA=120°，且BP=CQ，
在△PBC和△QCA中
$\left\{\begin{array}{l}{PB=CQ}\\{∠PBC=∠ACQ}\\{AC=BC}\end{array}\right.$
∴△PBC≌△QCA（SAS），
∴∠BPC=∠MQC，
又∵∠PCB=∠MCQ，
∴∠CMQ=∠PBC=120°，
∴在P、Q运动的过程中，∠CMQ的大小不变，∠CMQ=120°．
点评 本题为三角形的综合应用，涉及等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、外角的性质、分类讨论思想及方程思想等知识．在（1）、（3）中证得三角形全等是解题的关键，在（2）中用直角三角形的性质得到关于t的方程是解题的关键，注意分两种情况．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
如图，BD，CE是△ACB的高，求证：△ADE∽△ABC．
如图，在边长为1的正方形ABCD中，点A的坐标为（1，1），AD∥x轴，动点P沿B→A→D→C→B运动，以点P为顶点的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）交x轴于M、N两点（点M在点N的左边），当点P运动时，该抛物线随之平移．若点M的横坐标的最小值为-1，则点N的横坐标的最大值为4．
如图，在△ABC中，已知FG∥DE∥BC，且FG和DE把△ABC的面积三等分，求FG：DE：BC的值．