Question

16．如图，在△ABC中，D为BC边上一点，∠B=∠C=∠BAD=36°
（1）若BC=1，求AB的值；
（2）求tan²36°．

Answer 1

分析 （1）先证出△ABD∽△ABC，得出$\frac{AB}{CB}$=$\frac{BD}{AB}$，再根据AB•AB=1（1-AB）进行整理即可得出AB；
（2）过点A作AM⊥BC，设BC=1，则CM=$\frac{1}{2}$，根据AC=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$求出AM²，再根据tan²36°=tan²∠B=（$\frac{AM}{CM}$）²代入计算即可．

解答 解：（1）∵∠B=∠C=∠BAD=36°，
∴AB=AC，BD=AD，
∴∠CDA=∠CAD=72°，
∴AC=CD，
∴△ABD∽△ABC，
∴$\frac{AB}{CB}$=$\frac{BD}{AB}$，
∴AB•AB=1（1-AB），
∴AB=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；

（2）过点A作AM⊥BC，设BC=1，则CM=$\frac{1}{2}$，
∵AC=AB=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；
∴AM²=AC²-CM²=（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）²-（$\frac{1}{2}$）²=$\frac{5-2\sqrt{5}}{4}$，
∴tan²36°=tan²∠B=（$\frac{AM}{CM}$）²=$\frac{A{M}^{2}}{C{M}^{2}}$=$\frac{\frac{5-2\sqrt{5}}{4}}{（\frac{1}{2}）^{2}}$=5-2$\sqrt{5}$．

点评 此题考查了黄金分割，用到的知识点是黄金分割的定义、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、正切的定义，关键是根据题意画出图形，构造直角三角形．