Question

8．如图，O为矩形ABCD内的一点，且满足OB=OD，若O点到A点的距离用m表示，OB=n，试用含m、n的代数式表示OC=$\sqrt{2{n}^{2}-{m}^{2}}$．

Answer 1

分析 过O作EF⊥AD于E，交BC于F；过O作GH⊥DC于G，交AB于H，设BF=x，CF=y，根据勾股定理求出n²-x²=OC²-y²，m²-x²=n²-y²，相减即可求出答案．

解答 解：如图，过O作EF⊥AD于E，交BC于F；过O作GH⊥DC于G，交AB于H，
设BF=x，CF=y，
所以AE=x，DE=y，
所以OF²=OB²-BF²=OC²-CF²
即n²-x²=OC²-y²（1），
同理：OE²=n²-y²=m²-x²，
即m²-x²=n²-y²（2），
（1）-（2）得（n²-x²）-（m²-x²）=（OC²-y²）-（n²-y²），
解得：OC²=2n²-m²
所以OC=$\sqrt{2{n}^{2}-{m}^{2}}$，
故答案为：$\sqrt{2{n}^{2}-{m}^{2}}$．

点评 本题考查了矩形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线，并根据勾股定理得出（1）（2），有一定的难度．