Question

4．已知：如图，直线y=$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$与x轴、y轴分别交于A、B两点，动点D从A点出发向O点运动（运动到O点停止），过D作DE∥AB交y轴于点E；对称轴过点A且顶点为M的抛物线y=a（x-k）²+h（a＜0）始终经过点E，过E作EG∥OA交抛物线于点G，交AB于点F，连结DE、DF、AE、BG．设D的运动速度是1个单位长度/秒，运动时间为t秒．
（1）用含t代数式分别表示EF、BE、AF的长；
（2）在整个运动过程中是否存在点D，使AE∥BG？若存在，求出t的值，并判断此时四边形ADEF的形状且说明理由；若不存在，请说明理由；
（3）当△ADF是直角三角形，且抛物线的顶点M恰好在BG上时，求抛物线的解析式．

Answer 1

分析 （1）首先求出一次函数y=$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$与坐标轴交点A、B的坐标，然后解直角三角形求出BF、EF、AF的长；
（2）假设存在，然后从存在出发，即将四边形ADEF是菱形作为条件求出t的值即可．
（3）当△ADF是直角三角形时，有两种情形，需要分类讨论：
①若∠ADF=90°．首先求出此时t的值；其次求出点G的坐标，利用待定系数法求出直线BG的解析式，得到点M的坐标；最后利用顶点式和待定系数法求出抛物线的解析式；
②若∠AFD=90°，解题思路与①相同．

解答 解：（1）在直线解析式y=$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$中，令x=0，得y=$\sqrt{3}$；令y=0，得x=-1．
∴A（-1，0），B（0，$\sqrt{3}$），OA=1，OB=$\sqrt{3}$．
∴tan∠OAB=$\sqrt{3}$．
∴∠OAB=60°．
∴AB=2OA=2．
∵EG∥OA，DE∥AB，
∴四边形ADEF为平行四边形．
∴EF=AD=t，
BF=2EF=2t．
∴BE=$\sqrt{3}$t，
∴AF=AB-BF=2-2t；

（2）存在，∵GE=2OA=2，
∴GF=2-t，若AE∥BG，则△FGB∽△FEA，
∵∠GFB=∠EFA，
∴$\frac{EF}{GF}=\frac{AF}{BF}$，$\frac{t}{2-t}=\frac{2-2t}{2t}$，解得t=$\frac{2}{3}$．
∴t=$\frac{2}{3}$时，AE∥BG．
此时四边形ADEF是菱形，EF=AF=$\frac{2}{3}$，
∴四边形ADEF是菱形；

（3）当△ADF是直角三角形时，
①若∠ADF=90°，
此时AF=2DA，即2-2t=2t，解得t=$\frac{1}{2}$．
∴BE=$\sqrt{3}$EF=$\sqrt{3}$t=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，OE=OB-BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴E（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），G（-2，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
设直线BG的解析式为y=kx+b，
将B（0，$\sqrt{3}$），G（-2，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{b=\sqrt{3}}\\{-2k+b=\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{\sqrt{3}}{4}}\\{b=\sqrt{3}}\end{array}\right.$．
∴直线BG的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{4}x+\sqrt{3}$．
令x=-1，得y=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，∴M（-1，$\frac{3\sqrt{3}}{4}$）．
设抛物线解析式为y=a（x+1）²+$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∵点E（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）在抛物线上，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}=a+\frac{3\sqrt{3}}{4}$，解得a=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
抛物线解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（x+1）²+$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，即y=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²-$\frac{\sqrt{3}}{2}x$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$；

②若∠AFD=90°，
此时AD=2AF，即：t=2（2-2t），解得：t=$\frac{4}{5}$．
∴BE=$\sqrt{3}$t=$\frac{4\sqrt{3}}{5}$，OE=OB-BE=$\frac{\sqrt{3}}{5}$．
∴E（0，$\frac{\sqrt{3}}{5}$），G（-2，$\frac{\sqrt{3}}{5}$）．
设直线BG的解析式为y=k₁x+b₁，
将B（0，$\sqrt{3}$），G（-2，$\frac{\sqrt{3}}{5}$）代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}=\sqrt{3}}\\{-2{k}_{1}+{b}_{1}=\frac{\sqrt{3}}{5}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=\frac{2\sqrt{3}}{5}}\\{{b}_{1}=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，．
∴直线BG的解析式为y=$\frac{2\sqrt{3}}{5}$x+$\sqrt{3}$．
令x=-1，得y=$\frac{3\sqrt{3}}{5}$，∴M（-1，$\frac{3\sqrt{3}}{5}$）．
设抛物线解析式为y=a（x+1）²+$\frac{3\sqrt{3}}{5}$，
∵点E（0，$\frac{\sqrt{3}}{5}$）在抛物线上，
∴$\frac{\sqrt{3}}{5}=a+$$\frac{3\sqrt{3}}{5}$，解得a=-$\frac{2\sqrt{3}}{5}$．
∴抛物线解析式为y=-$\frac{2\sqrt{3}}{5}$（x+1）²+$\frac{3\sqrt{3}}{5}$，即y=-$\frac{2\sqrt{3}}{5}$x²-$\frac{4\sqrt{3}}{5}$x+$\frac{\sqrt{3}}{5}$．

点评 本题是中考压轴题，涉及二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、解直角三角形、菱形等知识点．第（3）问中，有两种情形存在，需要分类讨论，避免漏解．