Question

8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2$\sqrt{3}$，BC=6，动点P，Q分别在边AB，BC上，则CP+PQ的最小值为（　　）

• A． 3$\sqrt{3}$
• B． 3+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
• C． 2$\sqrt{3}$
• D． 2+$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 作C关于AB的对称点C′，过C′作C′Q⊥BC于Q，交AB于P，则C′Q=CP+PQ的最小值，解直角三角形得到AB=4$\sqrt{3}$，根据三角形的面积公式得到CC′=2×$\frac{AC•BC}{AB}$=2×$\frac{2\sqrt{3}×6}{4\sqrt{3}}$=6，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：作C关于AB的对称点C′，过C′作C′Q⊥BC于Q，交AB于P，
则C′Q=CP+PQ的最小值，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2$\sqrt{3}$，BC=6，
∴AB=4$\sqrt{3}$，
∴CC′=2×$\frac{AC•BC}{AB}$=2×$\frac{2\sqrt{3}×6}{4\sqrt{3}}$=6，
∵∠B=∠C′，∠C′QC=∠ACB=90°，
∴△CC′Q∽△BAC，
∴$\frac{CC′}{AB}=\frac{C′Q}{BC}$，即$\frac{6}{4\sqrt{3}}=\frac{C′Q}{6}$，
∴C′Q=3$\sqrt{3}$．
故选A．

点评 本题考查了线路最短的问题，确定动点P为何位置时，使PC+PM的值最小是关键．