Question

19．如图，AB为⊙O的直径，$\widehat{CB}$=$\widehat{CD}$，CO的延长线交⊙O于点E，ED交AB于点F．
（1）求证：AD∥EC；
（2）若$\frac{AF}{DF}$=$\frac{2}{3}$，求tan∠CEF的值．

Answer 1

分析 （1）连接CA，$\widehat{CB}$=$\widehat{CD}$，由圆周角定理可知：∠DAC=∠DEC=∠BAC，由于OA=OC，从而可知∠DAB=∠AOE．
（2）由（1）可知△AFD∽△EFO，从而可知$\frac{AF}{DF}=\frac{OF}{EF}$=$\frac{2}{3}$，设AF=2x，OF=2y，然后分别求出ED、EC，即可求出tan∠CEF的值．

解答 （1）证明：连接CA，
∵$\widehat{CB}$=$\widehat{CD}$，
∴由圆周角定理可知：∠DAC=∠DEC=∠BAC，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠OCA
∴∠AOE=∠OAC+∠BAC=2∠BAC，
∴∠DAB=∠AOE=2∠BAC，
∴AD∥EC

（2）解：连接DC，
由（1）可知：AD∥EC，
∴△AFD∽△EFO，
∴$\frac{AF}{DF}=\frac{OF}{EF}$=$\frac{2}{3}$，
设AF=2x，OF=2y，
∴DF=3x，EF=3y，
∴ED=EF+DF=3（x+y），
∴AO=AF+OF=2（x+y），
∴EC=2AO=4（x+y），
∵EC是⊙O的直径，
∴∠EDC=90°，
∴sin∠CED=$\frac{ED}{EC}$=$\frac{3}{4}$，
∴tan∠CED=$\frac{3\sqrt{7}}{7}$，

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在利用相似三角形的性质时只有利用相似比计算线段的长．也考查了圆周角定理．