Question

阅读理解：对于任意正实数a、b，
∵（

a

-

b

）²≥0，∴a-2

ab

+b≥0，∴a+b≥2

ab

，只有当a=b时，a+b=2

ab

．
根据上述内容，回答下列问题：
（1）若m＞0，只有当m=

 

时，m+

1

m

有最小值

 

．
（2）探索应用：已知，点Q（-3，-4）是反比例函数图象y=

k

x

的一点，过点Q作QA⊥x轴于点A，作QB⊥y轴于点B，点P为反比例函数图象y=

k

x

(x＞0)上的任意一点，连接PA、PB，求四边形AQBP面积的最小值；
（3）已知x＞0，则自变量x为何值时，函数y=

x

x2-2x+25

取到最大值，最大值为多少？

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：代数几何综合题

分析：（1）根据已知条件，当m=

1

m

时，m+

1

m

有最小值2

m× 1 m

，进而求出即可；
（2）连接PO，过点P作PM⊥x轴于点M，作PN⊥y轴于点N，首先利用S_{四边形AQBP}=S_{四边形AQBO}+S_△AOP+S_△BOP，再结合当2x=

18

x

，时S_AQBP的面积最小，求出x的值，进而得出答案；
（3）首先设y′=

x2-2x+25

x

=x-2+

25

x

，当x=

25

x

时y'_最小，进而得出x的值以及y的值．

解答：解：（1）当m=

1

m

时，则m²=1，
解得m=±1，
∵m＞0，
∴m=1，
∴m+

1

m

有最小值是2；
故答案为：1，2；

（2）由题意得，S_AQBO=3×4=12，反比例函数解析式为：y=

12

x

，
连接PO，过点P作PM⊥x轴于点M，作PN⊥y轴于点N，设点P的坐标为（x，

12

x

），
∴S_△AOP=

1

2

×AO×PM=

1

2

×3×

12

x

=

18

x

，
S_△BOP=

1

2

×BO×PN=

1

2

×4×x=2x，
S_{四边形AQBP}=S_{四边形AQBO}+S_△AOP+S_△BOP=2x+

18

x

+12，
当2x=

18

x

，时S_AQBP的面积最小，解得x₁=3，x₂=-3（舍去），
∴当x=3时，S_{四边形AQBP}=2×3+

18

3

+12=24，
∴四边形AQBP面积的最小值为24；

（3）设y′=

x2-2x+25

x

=x-2+

25

x

，
当x=

25

x

时y'_最小，∴当x=5时，y'_最小=8，
∴当x=5时，y最大=

1

8

．

点评：此题主要考查了反比例函数综合以及四边形面积公式和函数最值求法等知识，利用已知得出当2x=

18

x

，时S_AQBP的面积最小进而得出x的值是解题关键．