Question

如图，一个正比例函数y₁=k₁x的图象与一个一次函数y₂=k₂x+b的图象相交于点A（3，4），且一次函数y₂的图象与y轴相交于点B（0，-5），与x轴交于点C．
（1）判断△AOB的形状并说明理由；
（2）请写出当y₁＞y₂时x的取值范围；
（3）若将直线AB绕点A旋转，使△AOC的面积为8，求旋转后直线AB的函数解析式；
（4）在x轴上求一点P使△POA为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：代数几何综合题,待定系数法

分析：（1）根据A的坐标求得OA和OB的长度即可判断；
（2）根据图象当y₁＞y₂时即y₁的函数值大，即对相同的x的值，y₁对应的图象的点在上边，根据图象即可写出；
（3）首先根据三角形的面积公式求得OC的长，即可得到C的坐标，利用待定系数法即可求解；
（4）已知等腰三角形POA中的一边OA，分1）OA是底边；2）OA是腰，且A是顶角的顶点；3）OA是腰，且O是顶角的顶点．三种情况进行讨论．

解答：解：（1）OA=

32+42

=5，则OA=OB，
∴△AOB是等腰三角形；

（2）根据图象可以得到：当y₁＞y₂时x＜3；

（3）设OC=x，则

1

2

x×4=8，解得：x=4，
则C的坐标是：（-4，0）或（4，0）．
设直线AB的解析式是：y=kx+b，当C的坐标是：（-4，0）时，根据题意得：

3k+b=4 -4k+b=0

，
解得：

k= 4 7 b= 16 7

，
则直线的解析式是：y=

4

7

x+

16

7

；
当C的坐标是（4，0）时，根据题意得：

3k+b=4 4k+b=0

，
解得：

k=-4 b=16

，
则直线的解析式是：y=-4x+16；

（4）把（3，4）代入y₁=k₁x得到：3k₁=4，
解得：k₁=

4

3

，
当OA是底边时，OA的中点是（

3

2

，2），设过OA的中点且与OA垂直的直线的解析式是：y=-

3

4

x+b，
根据题意得：b=

25

8

，
直线的解析式是：y=-

3

4

x+

25

8

，
当y=0时，x=

25

6

，
则P的坐标是（

25

6

，0）；
当OA是腰，O是顶角的顶点时，OP=OA=5，则P的坐标是（5，0）或（-5，0）；
当OA是腰，A是顶角的顶点时，AP=AO，则P与O关于x=3对称，则P的坐标是（6，0）．
则P的坐标是：（

25

6

，0）或（5，0）或（-5，0）或（6，0）．

点评：本题综合考查了一次函数与等腰三角形知识的综合应用，考查了待定系数法求函数的解析式，正确进行讨论是关键．