题目内容
如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB 于点E，且ME=3，AM=6，AE=3| 3 |
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求
 |
| BM |
（3）求阴影部分的面积．
考点：切线的判定,弧长的计算,扇形面积的计算
专题：几何综合题
分析：（1）根据勾股定理的逆定理求出∠AEM=90°，推出∠B=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）求出∠MOB，求出半径OM，根据弧长公式求出即可；
（3）分别求出扇形OMN和三角形OMN的面积，即可求出答案．
（2）求出∠MOB，求出半径OM，根据弧长公式求出即可；
（3）分别求出扇形OMN和三角形OMN的面积，即可求出答案．
解答：（1）证明：∵ME2+AE2=AM 2=36，
∴△AME是直角三角形，且∠AEM=90°，
又∵MN∥BC，
∴∠ABC=∠AEM=90°，
即OB⊥BC．
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：连接OM，
∵sinA=
=
，
∴∠A=30°，
∴∠BOM=2∠A=60°，
∴OM=2
，
∴
的长度是：
=
π；
（3）解：∵AB⊥MN，AB是直径，
∴弧BM=弧BN，MN=2ME=6，
∴∠MON=2×60°=120°，
∵AE=3
，AO=OM=2
，
∴OE=
，
∴阴影部分的面积S=S扇形OMN-S△OMN=
-
×6×
=4π-3
．
∴△AME是直角三角形，且∠AEM=90°，
又∵MN∥BC，
∴∠ABC=∠AEM=90°，
即OB⊥BC．
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：连接OM，
∵sinA=
| ME |
| AM |
| 1 |
| 2 |
∴∠A=30°，
∴∠BOM=2∠A=60°，
∴OM=2
| 3 |
∴
|
| BM |
60π×2
| ||
| 180 |
2
| ||
| 3 |
（3）解：∵AB⊥MN，AB是直径，
∴弧BM=弧BN，MN=2ME=6，
∴∠MON=2×60°=120°，
∵AE=3
| 3 |
| 3 |
∴OE=
| 3 |
∴阴影部分的面积S=S扇形OMN-S△OMN=
120π×(2
| ||
| 360 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
点评：本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，弧长公式，扇形的面积，切线的判定的应用，题目是一道综合性比较强的题目，有一定的难度．
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