Question

1．记抛物线y=-x²+100的图象与y轴正半轴的交点为A，将线段OA分成100等份，设分点分别为P₁，P₂，…，P₉₉，过每个分点作y轴的垂线，分别与抛物线交于点Q₁，Q₂，…，Q₉₉，再记直角三角形OP₁Q₁，P₁P₂Q₂，…的面积分别为S₁，S₂，…，这样就记W=S₁²+S₂²+S₃²+…+S₉₉²，W的值为（　　）

• A． 1237
• B． 1238
• C． 1237.5
• D． 1238.5

Answer 1

分析 根据等分求出OP₁=P₁P₂=P₂P₃=P₃P₄=…=P₉₈P₉₉=1，再利用抛物线解析式求出P₁Q₁，P₂Q₂，…，P₉₉Q₉₉的平方的值，利用三角形的面积表示出S₁，S₂，…，平方后相加，然后根据等差数列求和公式进行计算即可得解．

解答 解：∵P₁，P₂，…，P₉₉将线段OA分成100等份，
∴OP₁=P₁P₂=P₂P₃=P₃P₄=…=P₉₈P₉₉=1，
∵过分点P₁作y轴的垂线，与抛物线交于点Q₁，
∴-x²+100=1，
解得x²=99，
∴S₁²=（$\frac{1}{2}$×1×P₁Q₁）²=$\frac{1}{4}$×99，
同理可得S₂²=$\frac{1}{4}$×98，
S₃²=$\frac{1}{4}$×97，
…
S₉₉²=$\frac{1}{4}$×1，
∴w=S₁²+S₂²+S₃²+…+S₉₉²
=$\frac{1}{4}$×99+$\frac{1}{4}$×98+$\frac{1}{4}$×98+…+$\frac{1}{4}$×1
=$\frac{1}{4}$×$\frac{99×（99+1）}{2}$=1237.5，
故选C．

点评 本题是对二次函数的综合考查，根据图形的变化规律，分别表示出各三角形的面积的平方是解题的关键．