Question

12．如图，在△ABC中，∠C=90°，正方形DEFG内接于△ABC，其中点D、E在边AB上，点F、G分别在边BC，CA上，已知$\frac{AC}{BC}$=k，则AD：DE：EB=k²：k：1（用k表示）

Answer 1

分析 由四边形DEFG是正方形，得到∠GDB=∠GDA=∠FED=∠FEB=90°，DG=DE=EF，由于∠C=90°，∠A=∠A，∠B=∠B，于是推出△ADG∽△ABC∽△BEF，根据相似三角形的性质得到$\frac{AD}{DG}=\frac{AC}{BC}=\frac{EF}{BE}$=k，证得AD=k•DG，EF=k•BE即可得到结论．

解答 解：∵四边形DEFG是正方形，
∴∠GDB=∠GDA=∠FED=∠FEB=90°，DG=DE=EF，
∵∠C=90°，∠A=∠A，∠B=∠B，
∴△ADG∽△ABC∽△BEF，
∴$\frac{AD}{DG}=\frac{AC}{BC}=\frac{EF}{BE}$=k，
∴AD=k•DG，EF=k•BE
∴AD=k•DE，BE=$\frac{1}{k}$DE，
∴AD：DE：EB=（k•DE）：DE：（$\frac{1}{k}$•DE）=k²：k：1．
故答案为：k²：k：1．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．