Question

6．先阅读材料，然后解答问题，计算发现
x+$\frac{1}{x}$=2+$\frac{1}{2}$的解为x₁=2，x₂=$\frac{1}{2}$，
x+$\frac{1}{x}$=3+$\frac{1}{3}$的解为x₁=3，x₂=$\frac{1}{3}$，
x+$\frac{1}{x}$=4+$\frac{1}{4}$的解为x₁=4，x₂=$\frac{1}{4}$，
…
（1）观察上述解的情况猜想关于x的方程x+$\frac{1}{x}$=11+$\frac{1}{11}$的解是x₁=11，x₂=$\frac{1}{11}$．
（2）根据上面规律，猜想关于x的方程x+$\frac{1}{x}$=n+$\frac{1}{n}$的解是x₁=n，x₂=$\frac{1}{n}$．
（3）类似的关于x的方程x-$\frac{1}{x}$=m-$\frac{1}{m}$的解是x₁=-m，x₂=$\frac{1}{m}$．

Answer 1

分析 （1）根据阅读材料直接得到答案；
（2）根据材料直接得到答案．
（3）根据若关于x的方程x+$\frac{1}{x}$=n+$\frac{1}{n}$的两个解是x=n，x=$\frac{1}{n}$，方程的左边是未知数与未知数的倒数的n倍的和，右边与方程左边的结构相同，是一个数与这个数的倒数的n倍的和，则方程的解是这个数和这个数的倒数的n倍，据此即可求解．

解答 解：（1）观察上述解的情况猜想关于x的方程x+$\frac{1}{x}$=11+$\frac{1}{11}$的解是 x₁=11，x₂=$\frac{1}{11}$．
故答案是：x₁=11，x₂=$\frac{1}{11}$；

（2）根据上面规律，猜想关于x的方程x+$\frac{1}{x}$=n+$\frac{1}{n}$的解是 x₁=n，x₂=$\frac{1}{n}$．
故答案是：x₁=n，x₂=$\frac{1}{n}$．

（3）∵x-$\frac{1}{x}$=m-$\frac{1}{m}$，
∴x+（-$\frac{1}{x}$）=m+（-$\frac{1}{m}$），
∴x₁=-m，x₂=$\frac{1}{m}$．
故答案为：x₁=-m，x₂=$\frac{1}{m}$．

点评 本题考查了分式方程的解，理解题意，能根据规律解题是解答本题的关键．