Question

如图，在?ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E，F，点G，H分别为AD，BC的中点，试证明EF和GH互相平分．

Answer 1

考点：平行四边形的判定与性质

专题：证明题

分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及等腰三角形的性质，即可证得∠GEF=∠BFH，则EG和FH平行且相等，即可证明四边形EHFG是平行四边形，从而证明EF和GH互相平分．

解答：证明：∵AE⊥BD，G是AD的中点，即EG是直角△AED斜边AD上的中线，
∴EG=

1

2

AD=DG，
同理，FH=

1

2

BC=BH，
又∵平行四边形ABCD中，AD=BC，
∴EG=FH=DG=BH．
∴∠GDE=∠GED，∠FBH=∠BFH，
又∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠GDE=∠FBH，
∴∠GEF=∠BFH，
∴EG∥FH，
又∵EG=FH，
∴四边形EHFG是平行四边形，
∴EF和GH互相平分．

点评：本题考查了直角三角形的性质，以及平行四边形的判定与性质，证明两线段互相平分的问题常用的思路是转化为证明平行四边形的问题．