Question

已知：如图1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，∠ABC、∠ACB的外角平分线交于点D．

（1）求证：∠BOC+∠BDC=180°；
（2）若△ABC的三个外角平分线交点为D、E、F（如图2），求证：△DEF为锐角三角形．

Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质,多边形内角与外角

专题：证明题

分析：（1）如图1，根据角平分线的定义得到∠1=

1

2

∠ABC，∠3=

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2

∠CBE，则利用平角的定义得到∠1+∠3=90°，同理可得∠2+∠4=90°，然后根据四边形的内角和即可得到∠BOC+∠BDC=180°；
（2）如图2，根据角平分线定义得∠1=∠2，∠3=∠4，再利用三角形外角性质得∠1+∠2=∠BAC+∠ACB=∠BAC+180°-∠3-∠4，则∠1+∠3=90°+

1

2

∠BAC，然后根据三角形内角和定理得到∠D=180°-（∠1+∠3）=90°-

1

2

∠BAC，于是可判断∠D为锐角，同理可得∠F=90°-

1

2

∠ACB，∠E=90°-

1

2

∠ABC，也可判断∠E、∠F都是锐角，所以△DEF为锐角三角形．

解答：证明：（1）如图1，
∵OB平分∠ABC，
∴∠1=

1

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∠ABC，
∵BD平分∠CBE，
∴∠3=

1

2

∠CBE，
∵∠ABC+∠CBE=180°，
∴∠1+∠3=

1

2

×180°=90°，
同理可得∠2+∠4=90°，
在四边形OBDC中，
∵∠OBD+∠BOC+∠OCD+∠BDC=360°，
∴∠BOC+∠BDC=180°；
（2）如图2，
∵BD和CD为△ABC的外角平分线，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠1+∠2=∠BAC+∠ACB
=∠BAC+180°-∠3-∠4，
∴2∠1=∠BAC+180°-2∠3，
∴∠1+∠3=90°+

1

2

∠BAC，
∴∠D=180°-（∠1+∠3）=90°-

1

2

∠BAC，
∴∠D为锐角，
同理可得∠F=90°-

1

2

∠ACB，∠E=90°-

1

2

∠ABC，
∴∠E、∠F都是锐角，
∴△DEF为锐角三角形．

点评：本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了多边形的内角与外角．