Question

如图，矩形ACOB的顶点A坐标为（4a，2a），顶点B、C分别在y轴、x轴上，双曲线l₁：y=

k

x

（x＞0）经过点A，双曲线l₂：y=

m

x

（x＞0）经过OA的中点P，交AB于点D．
（1）填空：双曲线1₁的表达式是

 

（用a表示）
（2）求双曲线l₂稍微表达式．（用a表示）
操作：在射线BA上取点E，使BE=4，过E作EF⊥x轴，EF与直线OD，OA分别交于点M．N．
（3）如图2，如果0＜a＜1，
①△BOD与△BAO相似吗？请证明你的结论．
②ME-NE的值是定值吗？如果是，请求出这个定值；如果不是请说明理由．
（4）如果a＞4，请直接写出ME与NE之间的数量关系式．

Answer 1

考点：反比例函数综合题,待定系数法求一次函数解析式,待定系数法求反比例函数解析式,相似三角形的判定

专题：综合题

分析：（1）只需用待定系数法就可解决问题；
（2）只需利用中点坐标公式求出点P的坐标，然后用待定系数法就可解决问题；
（3）①只需用a的代数式表示出BD、OB、BA的长度，然后运用相似三角形的判定（2）就可解决问题；
②可先求出直线OA、直线OD的解析式，然后再求出点M、N的纵坐标，就可解决问题；
（4）由a＞4可得点E在线段BD上，然后借鉴（3）②的解题经验，就可解决问题．

解答：解：（1）∵双曲线y=

k

x

（x＞0）经过点A（4a，2a），
∴k=4a×2a=8a²，
∴双曲线l₁的表达式为y=

8a2

x

．
故答案为：y=

8a2

x

．

（2）如图1，

∵点P为OA的中点，A（4a，2a），
∴点P的坐标为（2a，a）．
∵双曲线y=

m

x

（x＞0）经过点P，
∴m=2a×a=2a²，
∴双曲线l₂的表达式为y=

2a2

x

．

（3）①△BOD∽△BAO．
证明：由题可得：y_D=y_A=2a．
∵点D在双曲线y=

2a2

x

上，
∴

2a2

x

=2a，
解得：x=a，
∴点D的坐标为（a，2a），
∴BD=a．
∵四边形ACOB是矩形，A（4a，2a），
∴AB=4a，OB=2a，
∴

BD

BO

=

BO

BA

=

1

2

．
∵∠OBD=∠ABO，
∴△BOD∽△BAO．
②ME-NE的值是定值．
由题可得：x_M=x_N=x_E=4．
∵0＜a＜1，
∴AB=4a＜4．
∵BE=4，
∴AB＜BE，
∴点E在线段BA的延长线上，如图2．

∵点D（a，2a），
∴直线OD的解析式为y=2x，
∴y_M=2×4=8．
∵点A（4a，2a），
∴直线OA的解析式为y=

1

2

x，
∴y_N=

1

2

×4=2，
∴ME-NE=MN=y_M-y_N=8-2=6．

（4）当a＞4时，BD=a＞BE，
∴点E在线段BD上，如图3，

同理可得y_M=8，y_N=2．
∴NE-ME=MN=y_M-y_N=6．
∴ME与NE之间的数量关系式为NE-ME=6．

点评：本题主要考查了用待定系数法求反比例函数及一次函数的解析式、相似三角形的判定、矩形的性质等知识，需要注意的是ME与NE的之间的大小关系与a的取值有关．