Question

15．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（4，0），以点A为圆心，4为半径的圆与x轴交于O，B两点，OC为弦，∠AOC=60°，当点P在直径OB上运动时，连CP并延长与⊙A相交于点Q，PO=2或2+2$\sqrt{3}$时，△OCQ是等腰三角形．

Answer 1

分析 本题分两种情况：
①以O为顶点，OC，OQ为腰．那么可过C作x轴的垂线，交圆于Q，此时三角形OCQ就是此类情况所说的等腰三角形；那么此时PO可在直角三角形OCP中，根据∠COA的度数，和OC即半径的长求出PO．
②以Q为顶点，QC，QD为腰，那么可做OC的垂直平分线交圆于Q，则这条线必过圆心，如果设垂直平分线交OC于D的话，可在直角三角形AOQ中根据∠QAE的度数和半径的长求出Q的坐标；然后用待定系数法求出CQ所在直线的解析式，得出这条直线与x轴的交点，也就求出了PO的值．

解答 解：①过点C作CP₁⊥OB，垂足为P₁，延长CP₁交⊙A于Q₁；如图①，
∵OA是半径，
∴$\widehat{OC}=\widehat{O{Q}_{1}}$，
∴OC=OQ₁，
∴△OCQ₁是等腰三角形；
又∵△AOC是等边三角形，
∴P₁O=$\frac{1}{2}$OA=2；
②过A作AD⊥OC，垂足为D，延长DA交⊙A于Q₂，CQ₂与x轴交于P₂；如图②，
∵A是圆心，
∴DQ₂是OC的垂直平分线，
∴CQ₂=OQ₂，
∴△OCQ₂是等腰三角形；
过点Q₂作Q₂E⊥x轴于E，
在Rt△AQ₂E中，
∵∠Q₂AE=∠OAD=$\frac{1}{2}$∠OAC=30°，
∴Q₂E=$\frac{1}{2}$AQ₂=2，AE=2$\sqrt{3}$，
∴点Q₂的坐标（4+$2\sqrt{3}$，-2）；
在Rt△COP₁中，
∵P₁O=2，∠AOC=60°，
∴$C{P}_{1}=2\sqrt{3}$
∴C点坐标（2，$2\sqrt{3}$）；
设直线CQ₂的关系式为y=kx+b，则
$\left\{\begin{array}{l}{-2=（4+2\sqrt{3}）k+b}\\{2\sqrt{3}=2k+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=2+2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴y=-x+2+2$\sqrt{3}$；
当y=0时，x=2+2$\sqrt{3}$，
∴P₂O=2+2$\sqrt{3}$．
故答案为：2或2+2$\sqrt{3}$．

点评 本题综合考查函数、圆的切线，等边三角形的判定以及垂径定理等知识点．要注意等腰三角形要按顶点和腰的不同来分类讨论．