Question

如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的下底OA在x轴的正半轴上，OA∥CB，∠OAB=90°，过点C的反比例函数y=

k

x

（k≠0）的图象的一支在第一象限，交梯形对角线OB于点D，交边AB于点E，
（1）填空：反比例函数y=

k

x

的图象的另一支在第

 

象限，k的取值范围是

 

；
（2）若点B的坐标为（2，2），则△CBE是等腰直角三角形吗？请判断并说明理由；
（3）若D为OB的中点，连接DA，△BDA的面积为2，求反比例函数的解析式．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：综合题

分析：（1）根据反比例的性质即可得到反比例函数y=

k

x

的图象的另一支在第三象限，且k＞0；
（2）由于OA∥CB，∠OAB=90°，则C点的纵坐标为2，E点的横坐标为2，再利用反比例函数图象上点的坐标特征得C点坐标为（

k

2

，2），E点坐标为（2，

k

2

），则BC=2-

k

2

，BE=2-

k

2

，即BC=BE，易得△CBE是等腰直角三角形；
（3）设B点坐标为（a，b），利用线段中点坐标公式得D点坐标为（

a

2

，

b

2

），根据三角形面积公式得S_△ABD=

1

2

•b•（a-

a

2

）=2，解得ab=8，然后把点D坐标代入y=

k

x

得即可求出k，从而可确定反比例函数解析式为y=

2

x

．

解答：解：（1）∵反比例的图象的一支在第一象限，
∴反比例函数y=

k

x

的图象的另一支在第三象限，且k＞0；
故答案为三，k＞0；
（2）△CBE是等腰直角三角形．理由如下：
∵OA∥CB，∠OAB=90°，
∴C点的纵坐标为2，E点的横坐标为2，
把x=2代入y=

k

x

得y=

k

2

；把y=2代入y=

k

x

得x=

k

2

，
∴C点坐标为（

k

2

，2），E点坐标为（2，

k

2

），
∴BC=2-

k

2

，BE=2-

k

2

，
∴BC=BE，
而∠CBE=90°，
∴△CBE是等腰直角三角形；
（3）设B点坐标为（a，b），
∵D为OB的中点，
∴D点坐标为（

a

2

，

b

2

），
∴S_△ABD=

1

2

•b•（a-

a

2

）=2，
∴ab=8，
把D（

a

2

，

b

2

）代入y=

k

x

得k=

a

2

•

b

2

=

1

4

ab=

1

4

×8=2，
∴反比例函数解析式为y=

2

x

．

点评：本题考查了反比例函数综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数的性质以及梯形的性质；会利用坐标表示线段和根据三角形面积公式进行几何计算．