Question

8．如图，在长方形ABCD中，AB=12厘米，BC=6厘米，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间，那么：
（1）如图1，当t为何值时，△QAB的面积等于长方形面积的$\frac{1}{4}$？
（2）如图2，当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？
（3）如图3，P、Q到达B、A后继续运动，P点到达C点后都停止运动．那么当t为何值时，线段AQ的长等于线段CP的长的一半．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件得到DQ=tcm，AQ=（6-t）cm，根据三角形的面积列方程即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质列方程即可得到结论；
（3）根据已知条件得到AQ=（t-6）cm，CP=（18-2t）cm，依题意使线段AQ的长等于线段CP的长的一半，列方程即可得到结论．

解答 解：（1）由题可知：DQ=tcm，AQ=（6-t）cm，
∵△QAB的面积=$\frac{1}{2}$（6-t）×12，
依题意得：$\frac{1}{2}$（6-t）×12=$\frac{1}{4}$×6×12，
解得：t=3；

（2）由题可知：DQ=tcm，AQ=（6-t）cm，AP=2tcm，
使△QAP为等腰三角形，
∴AQ=AP，
⇒6-t=2t
解得t=2；

（3）由题可知：AQ=（t-6）cm，CP=（18-2t）cm，
依题意使线段AQ的长等于线段CP的长的一半，
∴t-6=$\frac{1}{2}$（18-2t），
解得：t=7.5．

点评 此题考查了动点移动问题，一元一次方程的性质及其应用，三角形的面积的计算，等腰三角形的性质，根据几何图形的边长及面积列方程求出t值是解题的关键．