Question

【题目】矩形OABC的边OA、OC分别在y轴和x轴的正半轴上，且长分别为m、4m，D为AB的中点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、点D．

（1）当m＝1时，求抛物线y＝﹣x2+bx+c的函数关系式；

（2）延长BC至点E，连接OE，若OD平分∠AOE，抛物线与线段CE相交，求抛物线的顶点P到达最高位置时的坐标．

Answer 1

【答案】（1）抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+1；（2）此时抛物线l顶点P到达最高位置时的坐标为（，）．

【解析】

(1)由m＝1，得：点A（0，1），点C（4，0），点B（4，1），点D（2，1），根据待定系数法，即可得到答案；

(2)由待定系数法得：抛物线的解析式为y＝﹣x2+2mx+m，过点D作DA'⊥OE，交x轴于点Q，过点A′作A′N⊥x轴于点N，连接AA'，求出A′点坐标为（m，﹣m），进而得到：直线OA′的解析式为：y＝﹣x，从而得到点E的坐标和抛物线l与直线CE的交点坐标，根据抛物线l与线段CE相交，求出≤m≤，进而求出抛物线顶点P到达最高位置时的坐标.

（1）如图1，

∵m＝1，

∴点A（0，1），点C（4，0），点B（4，1），

∵D为AB的中点，

∴点D（2，1）

∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、点D，

∴，解得：

∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+1；

（2）∵点A（0，m），点C（4m，0），点B（4m，m），

∵D为AB的中点，

∴点D（2m，m）

∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、点D，

∴，解得：，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2mx+m，

如图2，过点D作DA'⊥OE，交x轴于点Q，过点A′作A′N⊥x轴于点N，连接AA'，

∵OD平分∠AOE，

∴∠AOD＝∠A'OD，

又∵∠OAD＝∠OA′D＝90°，OD＝OD，

∴△AOD≌△A'OD（AAS）

∴OA＝OA′＝m，AD＝A′D＝2m，∠ADO＝∠A′DO，

∵矩形OABC中，AD∥OC，

∴∠ADO＝∠DOQ，

∴∠A′DO＝∠DOQ，

∴DQ＝OQ．

设DQ＝OQ＝x，则A′Q＝2m﹣x，

在Rt△OA′Q中，∵OA′2+A′Q2＝OQ2，

∴m2+（2m﹣x）2＝x2，

解得：x＝m．

∵S△OA′Q＝OQA′N＝OA′A′Q，

∴A′N＝，

∴ON＝，

∴A′点坐标为（m，﹣m），

∴直线OA′的解析式为：y＝﹣x，

当x＝4m时，y＝﹣×4m＝﹣3m，

∴E点坐标为（4m，﹣3m）．

当x＝4m时，﹣x2+2mx+m＝﹣（4m）2+2m4m+m＝﹣8m2+m，

即抛物线l与直线CE的交点坐标为：（4m，﹣8m2+m），

∵抛物线l与线段CE相交，

∴﹣3m≤﹣8m2+m≤0，

∵m＞0，

∴﹣3≤﹣8m+1≤0，

解得：≤m≤；

∵y＝﹣x2+2mx+m＝﹣（x﹣m）2+m2+m，且≤m≤，

∴当x＝m时，y有最大值m2+m，

又∵m2+m＝（m+）2﹣，

∴当≤m≤时，m2+m随m的增大而增大，

∴当m＝时，顶点P到达最高位置，即：m2+m＝（）2+＝，

故抛物线l顶点P到达最高位置时的坐标为（，）．