如图.△ABD是等腰三角形.AB=AD.将△ABD沿BD翻折得△CBD.点P是线段BD上一点.(1)如图1.连接PA.PC.求证:CP=AP,(2)如图2.连接PA.若∠BAP=90°时.作∠DPF=45°.线段PF交线段CD于F.求证:AD=AP+DF,(3)如图3.∠ABD=30°.连接AP并延长交CD于M.若∠BAM=90°.在BD上取一点Q.且DQ=3BQ.连BM.CQ.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．

如图，△ABD是等腰三角形，AB=AD，将△ABD沿BD翻折得△CBD，点P是线段BD上一点，
（1）如图1，连接PA、PC，求证：CP=AP；
（2）如图2，连接PA，若∠BAP=90°时，作∠DPF=45°，线段PF交线段CD于F，求证：AD=AP+DF；
（3）如图3，∠ABD=30°，连接AP并延长交CD于M，若∠BAM=90°，在BD上取一点Q，且DQ=3BQ，连BM、CQ，当BM=$\frac{15}{2}$时，求CQ的长．

分析（1）由翻折得到条件，直接判断出△ADP≌△CDP，即可；
（2）由（1）结论CP=AP，用三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和及平角的定义判断出∠CPF=∠CFP，得到CP=CF，即可；
（3）由（1）的结论判断出四边形ABCD是菱形，继而判断出四边形AQCP也是菱形，利用勾股定理求出MN即可．

解答证明：（1）由翻折有，AD=CD，∠ADP=∠CDP，
在△ADP和△CDP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADP=∠CDP}\\{DP=DP}\end{array}\right.$
∴△ADP≌△CDP，
∴CP=AP，
（2）连接PC，由（1）有，AP=CP，
由翻折有∠BCP=∠BAP=90°，
∴∠CBP+∠BPC=90°，
∵AD=AB=CB=CD，
∴∠CBP=∠CDP，
∴∠CDP+∠BPC=90°，
∵∠DPF=45°，
∴∠BPC+∠CPF=135°，
∴∠CPF=∠CDP+45°，
∵∠CFP=∠CDP+∠BPF=∠CDP+45°，
∴∠CPF=∠CFP，
∴CP=CF，
∴AD=CB=CF+FD=CP+FD=AP+FD．
（3）如图，连接AQ，AC，

由（1）有，AQ=CQ，AP=CP，由翻折有AB=BC，AD=CD，
∵AB=AD，
∴AB=BC=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB=OD，OA=OC，∠BAD=120°，
∵DQ=3BQ，
∴BQ=OQ，
∴四边形CPAQ也是菱形，
∵∠BAM=90°，∠BAD=120°，
∴∠BAQ=∠DAM=30°，
∴∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠CDB=30°，
∵∠ADM=60°，
∴∠AMD=90°，
∵△ACD等边三角形，
∴CD=2DM．
设DM=x，
∴CD=AD=AB=2DM=2x，AM=$\sqrt{3}$x，
在Rt△ABM中，BM=$\frac{15}{2}$，
∴AB²+AM²=BM²，
∴（2x）²+（$\sqrt{3}$x）²=（$\frac{15}{2}$）²，
∴x=$\frac{15\sqrt{7}}{14}$或x=-$\frac{15\sqrt{7}}{14}$（舍），
在RT△AOB中，∠ABD=30°，
∴OA=$\frac{1}{2}$AB=x，OB=$\sqrt{3}$x，
∵OQ=BQ=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
在RT△AOQ中，AQ=$\sqrt{O{A}^{2}+O{Q}^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$x=$\frac{15}{4}$，
∴CQ=AQ=$\frac{15}{4}$．