Question

13．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E为BC的中点，连接DE、OD．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）四边形OBED能否是菱形？如果能，试说明Rt△ABC还应满足什么条件；如果不能，也请说明理由．

Answer 1

分析 （1）欲证明DE是⊙O的切线，只要证明△OED≌△OEB得∠ODE=∠OBE=90°即可．
（2）当AB=BC时，四边形OBED是菱形，根据三角形中位线定理即可证明．

解答 （1）证明：如图连接BD、OE．
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
在RT△BCD中，∵∠BDC=90°，EC=EB，
∴DE=EB=EC，
在△OED和△OEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{OE=OE}\\{DE=EB}\\{OD=OB}\end{array}\right.$，
∴△OED≌△OEB，
∴∠ODE=∠OBE，
∵∠ABC=90°，
∴∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线．
（2）当AB=BC时，四边形OBED是菱形．
证明：∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AC，
∵AB=BC，
∴AD=DC，∵AO=OB，
∴OD=$\frac{1}{2}$BC，
∴OD=OB=DE=EB，
∴四边形ODEB是菱形．

点评 本题考查切线的判定和性质、菱形的判定、三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握证明切线的方法，利用全等三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．